Core · 조합
순서를 생각하지 않는다
$_n\mathrm{C}_r = \dfrac{_n\mathrm{P}_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$
$\{A,B\}$ 와 $\{B,A\}$ 는 같은 선택이다. 순열에서는 $AB, BA$ 를 다르게 셌지만, 조합에서는 하나로 본다. 그래서 같은 묶음의 순서 가짓수 $r!$ 로 나눈다.
Interactive · 실험실
순서 토글 실험실
$n$개에서 $r$개를 뽑습니다. 순서 구분을 켜면 각 묶음이 $r!$가지 순서로 펼쳐져 순열 $_n\mathrm{P}_r$ 이 되고, 끄면 하나로 합쳐져 조합 $_n\mathrm{C}_r$ 이 됩니다.
Core · 성질
조합의 성질
ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ
$r$개를 뽑는 것 = 남길 $n-r$개를 고르는 것.
ₙC₀ = ₙCₙ = 1
아무것도 안 뽑거나 전부 뽑는 방법은 1가지.
Examples · 예제
예제
예제 1
서로 다른 5명 중 3명의 대표를 뽑는 방법의 수는?
- 순서 무관 → 조합 $_5\mathrm{C}_3$
- $=\dfrac{5\times4\times3}{3!}=\dfrac{60}{6}=10$가지
예제 2
$_7\mathrm{C}_2$ 의 값은?
- $=\dfrac{7\times6}{2\times1}=21$
Quick Check · 즉문즉답
즉시 점검
Q1. $_5\mathrm{C}_3$ 의 값은?
Q2. $_7\mathrm{C}_2$ 의 값은?
Q3. $_6\mathrm{C}_0$ 의 값은?
Practice · 연습
연습 & 무한 연습
01★
$_6\mathrm{C}_2$ 의 값을 구하여라.
02★
서로 다른 5개에서 2개를 뽑는 방법의 수를 구하여라.
03★★
남자 4명, 여자 3명 중 3명의 대표를 뽑는 방법의 수는? ($_7\mathrm{C}_3$)
04★★
남자 4명 중 2명, 여자 3명 중 1명을 뽑는 방법의 수는? ($_4\mathrm{C}_2\times{}_3\mathrm{C}_1$)
무한 연습 — 조합의 값
$_n\mathrm{C}_r$ 의 값을 구하세요.
순서를 지우면 조합
순열을 $r!$ 로 나누면 조합.
'뽑기만' 하면 조합, '뽑아서 줄세우면' 순열.
"Forget the order, and permutations become combinations."